原题

　　Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

　　For example, given the following triangle

[     [2],    [3,4],   [6,5,7],  [4,1,8,3]]

 

　　The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

　　Note: 　　Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

 

题目大意

　　给定一个三角形，找出从顶到底的最小路径和，每一步可以从上一行移动到下一行相邻的数字

解题思路

 

简单的动态规划，唯一的问题是题目里给的空间复杂度的要求。先来说动态规划，当选择下面一层中的数字时，我们只能选择相邻的数字。什么是相邻的数字呢？拿上面的例子来说，对于2，下一行里3和4是相邻的；对于3来说，6和5>是相邻的；对于4来说，5和7是相邻的；对于6来说，4和1是相邻的；对于5来说，1和8是相邻的；对于7来说，8和3是相邻的；对于4/1/8/3来说，没有下一行所以没有相邻数字了。如果我们把数字都对应到数据在每一行中的下标上，可

以很容易发现，对于一个data[i][j]，和它相邻的数字就是data[i+1][j]和data[i+1][j+1]。这样一来问题就简单了。假如我们用minimus[i][j]来表示从第i行第j列处的数字开始往下到最后一层的最小路径和，那么有

minimus[i][j]=data[i][j]+min(minimums[i+1][j]+minimums[i+1][j+1])

然而上述描述中需要一个O（n^2）的额外空间，接下来我们来解决这个问题。

由于我们在公式里需要递归求解子问题，那么我们不妨反过来想一下，先求解子问题，然后再解决父问题。即，从下往上求解最小路径和。我们可以发现如下规律，当我们求解minimum[i][j]时，我们会用到minimum[i+1][j]和minimum[i+1][j+1]，但是当求解完所有minimum[i]之后minimum[i+1]就没有用处了。既然如此，我们是否可以复用同一个空间来存储minimum的值呢？答案是可以的。进一步观察发现，存储最后一行的每个数字的最小路径和需要n个空间>，因此至少我们需要n个空间，这也是题目里给出O（n）的空间复杂度的原因；之后存储倒数第二行时，我们只需要前面的n-1个空间……以此类推，第一行只需要一个空间来存储最小路径和，这也正是我们要求解的结果。

　　递推方程：

　　f(0,0)=a[0][0] 　　f(i,0)=a[i][0]+f(i-1,0) (i>0) 　　f(i,i)=a[i][i]+f(i-1,i-1)(i>0) 　　f(i,j)=a[i][j]+MIN(f(i-1,j),f(i-1,j-1))(0

代码实现

实现类

import java.util.List;public class Solution {    public int minimumTotal(List
    
     
      > triangle) {        if (triangle == null || triangle.size() < 1) {            return 0;        }        // 创建数组的第二维度        int[][] minSum = new int[triangle.size()][];        // 创建数组的第一维度        for (int i = 0; i < minSum.length; i++) {            minSum[i] = new int[i + 1];        }        // 设置第一行        minSum[0][0] = triangle.get(0).get(0);        // 设置其它行        for (int i = 1; i < minSum.length; i++) {            List
      
        line = triangle.get(i);            for (int j = 0; j < minSum[i].length; j++) {                if (j == 0) {                    minSum[i][0] = line.get(0) + minSum[i - 1][0];                } else if (i == j) {                    minSum[i][j] = line.get(j) + minSum[i - 1][j - 1];                } else if (j < i) {                    minSum[i][j] = line.get(j) + Math.min(minSum[i - 1][j], minSum[i - 1][j - 1]);                }            }        }        //找最后一行的最小值就是所求的解        int min = minSum[minSum.length - 1][0];        int length = minSum[minSum.length - 1].length;        for (int i = 1; i < length; i++) {            if (min > minSum[length - 1][i]) {                min = minSum[length - 1][i];            }        }        return min;    }}